数学（１）漸化式の核心

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ども、ドッコイマンです。

今回は、漸化式の基本について書いていこうと思います。

 

初めに、、、

 

漸化式の解法には色々なパターンがあり、それを全てマスターするのにとても苦労すると思います。例をあげるときりがない程の種類があります。

しかし、漸化式を理解している人からすれば、その様々な解法にはたった一つの核心を突いているだけに過ぎないのです。

この記事を読んだ皆さまが、漸化式を本当の意味で理解できる。ドッコイマンはそう確信しております。

 

そもそも、漸化式というのは、初項から次の項、その次の項とドミノ倒しのように全ての項が分かるよね、という問題です。下記の問題を例に説明していきたいと思います。

 

問題

\{a_1\}=\frac{1}{24},\{(n+3)a_n\}=\{(n-1)a_{n-1}\} (n≧2)

 

この問題は、青チャートで比較的レベルの高い問題として取り上げられていたものを改題したものです。元問題は東京学芸大学からの出典です。いきなりですが、答えを確認してください。

 

答え

漸化式の両辺に(n+2),(n+1),nを掛けると

\{(n+3)(n+2)(n+1)na_n\}=\{(n+2)(n+1)n(n-1)a_{n-1}\} (n≧2)

よって　\{(n+3)(n+2)(n+1)na_n\}=\{(n+2)(n+1)n(n-1)a_{n-1}\}\\\\={4}×{3}×{2}×{1}×{a_1}={1}

したがって　\{a_n\}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}・・・①

{n}={1}のとき　①から\{a_1\}=\frac{1}{24}

ゆえに　①は{n}={1}のときも成り立つ。

 

この問題が解ける方もいらっしゃるでしょう。しかし、核心を知らずに解法を覚えただけでは足りません。

 

ここが核心！

 

漸化式は与えられた式から、\{a_{n+1}-a_n\}={α}

　　　　　　　　　　　　　または

　　　　　　　　　　　　　\{a_{n+1}\}=\{βa_n\}

という形を導き、そこから一般項を作る！

 

上の方の形は、αが定数であれば、等差数列。

　　　　　　ｎのｋ次式であれば、階差数列。（ｋは整数）

下の方の形は等比数列ですよね。

 

この形からの一般項の求め方はどの問題集にも書いてあるので、割愛します。

この核心を頭の片隅に置いて、あなたが持っている問題集に取り組んでみて下さい。そのとき、これはこの形にこうやって持っていくんだな、と理解しながら答えを解析してください。

 

ここで、初めの問題をもう一度。

 

\{a_1\}=\frac{1}{24},\{(n+3)a_n\}=\{(n-1)a_{n-1}\} (n≧2)

 

1つの核心を得て、どうでしょうか。

この問題を見て、どうやってあの形に持っていくか、考えられたら合格です。

ただ、今回の難しい問題は他と違います。

今回、あえて、この問題を取り上げました。その理由は、先述した漸化式の核心。その形に持っていくためのファーストアプローチを知ってほしかったからです。

ここで、答えをもう一度ご覧ください。

 

漸化式の両辺に(n+2),(n+1),nを掛けると

\{(n+3)(n+2)(n+1)na_n\}=\{(n+2)(n+1)n(n-1)a_{n-1}\} (n≧2)

よって　\{(n+3)(n+2)(n+1)na_n\}=\{(n+2)(n+1)n(n-1)a_{n-1}\}\\\\={4}×{3}×{2}×{1}×{a_1}={1}

したがって　\{a_n\}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}・・・①

{n}={1}のとき　①から\{a_1\}=\frac{1}{24}

ゆえに　①は{n}={1}のときも成り立つ。

 

上の太字の部分が、この問題のファーストアプローチです。これは全ての漸化式の問題に通じるものなのです。

 

ファーストアプローチ！

 

n+1のカタマリ、nのカタマリを作る。

 

漸化式の両辺に(n+2),(n+1),nを掛ける　このファーストアプローチによって

\{(n+3)(n+2)(n+1)na_n\}=\{(n+2)(n+1)n(n-1)a_{n-1}\}この形になっていますよね。

これはまさに、n+1のカタマリ、nのカタマリを作る（これはn,n-1ですが）を実行しているわけです。ここからの解き方は答えを見ていただければ分かると思うので割愛します。

 

思考のプロセス

 

問題をみる。

↓

\{a_{n+1}-a_n\}={α}

または

\{a_{n+1}\}=\{βa_n\}

の形を導きたい！

↓

n+1のカタマリ、nのカタマリ

 を作ろう！

最後に、、、

この核心、そしてファーストアプローチを意識しながら問題集を解いていけば、自ずと漸化式が得意になっていくはずです。

 

批判でもなんでも構わないので、コメントをしていただければ幸いです。

この記事を最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。

因みに、私が一番好きなゲームはイナズマイレブンです。